In [187]:
# 任意选一个你喜欢的整数,这能帮你得到稳定的结果
seed = 888

欢迎来到线性回归项目

若项目中的题目有困难没完成也没关系,我们鼓励你带着问题提交项目,评审人会给予你诸多帮助。

所有选做题都可以不做,不影响项目通过。如果你做了,那么项目评审会帮你批改,也会因为选做部分做错而判定为不通过。

其中非代码题可以提交手写后扫描的 pdf 文件,或使用 Latex 在文档中直接回答。

1 矩阵运算

1.1 创建一个 4*4 的单位矩阵

In [188]:
# 这个项目设计来帮你熟悉 python list 和线性代数
# 你不能调用任何NumPy以及相关的科学计算库来完成作业


# 本项目要求矩阵统一使用二维列表表示,如下:
A = [[1,2,3], 
     [2,3,3], 
     [1,2,5]]

B = [[1,2,3,5], 
     [2,3,3,5], 
     [1,2,5,1]]

# 向量也用二维列表表示
C = [[1],
     [2],
     [3]]

#TODO 创建一个 4*4 单位矩阵
I = [[1,0,0,0],
     [0,1,0,0],
     [0,0,1,0],
     [0,0,0,1]]

1.2 返回矩阵的行数和列数

In [189]:
# TODO 返回矩阵的行数和列数
def shape(M):
    return (len(M),len(M[0]))
In [190]:
# 运行以下代码测试你的 shape 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_shape
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.004s

OK
<matplotlib.figure.Figure at 0x119e46668>

1.3 每个元素四舍五入到特定小数数位

In [191]:
# TODO 每个元素四舍五入到特定小数数位
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def matxRound(M, decPts=4):
    for x in range(len(M)):
        for y in range(len(M[x])):
            M[x][y] = round(M[x][y], decPts)
    pass
In [192]:
# 运行以下代码测试你的 matxRound 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxRound
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.009s

OK

1.4 计算矩阵的转置

In [193]:
# TODO 计算矩阵的转置
def transpose(M):
    return [list(col) for col in zip(*M)]
In [194]:
# 运行以下代码测试你的 transpose 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_transpose
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.013s

OK

1.5 计算矩阵乘法 AB

In [195]:
# TODO 计算矩阵乘法 AB,如果无法相乘则raise ValueError
def matxMultiply(A, B):
    
    if len(A[0]) != len(B):
        raise ValueError('sorry, value error')
    
    result = [[0]*len(B[0]) for x in range(len(A))]
    for x in range(len(A)):
        for m in range(len(B[0])):
            for k in range(len(B)):
                result[x][m] += A[x][k]*B[k][m]
                     
    return result 
In [196]:
# 运行以下代码测试你的 matxMultiply 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxMultiply
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.085s

OK

2 Gaussign Jordan 消元法

2.1 构造增广矩阵

$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ... \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

返回 $ Ab = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n} & b_{3}\\ ... & ... & ... & ...& ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$

In [197]:
# TODO 构造增广矩阵,假设A,b行数相同
def augmentMatrix(A, b):
    return [ra + rb for ra,rb in zip(A,b)]
In [198]:
# 运行以下代码测试你的 augmentMatrix 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_augmentMatrix
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.007s

OK

2.2 初等行变换

  • 交换两行
  • 把某行乘以一个非零常数
  • 把某行加上另一行的若干倍:
In [199]:
# TODO r1 <---> r2
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def swapRows(M, r1, r2):
    tempV = M[r1]
    M[r1] = M[r2]
    M[r2] = tempV
    pass
In [200]:
# 运行以下代码测试你的 swapRows 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_swapRows
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.002s

OK
In [201]:
# TODO r1 <--- r1 * scale
# scale为0是非法输入,要求 raise ValueError
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def scaleRow(M, r, scale):
    if (scale != 0):
        M[r] = [scale * i for i in M[r]]
    else:
        raise ValueError
    pass
In [202]:
# 运行以下代码测试你的 scaleRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_scaleRow
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.003s

OK
In [203]:
# TODO r1 <--- r1 + r2*scale
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def addScaledRow(M, r1, r2, scale):
    if (scale != 0):
        if (0 <= r1) and (0 <= r2):
            M[r1] = [a + b * scale for a,b in zip(M[r1],M[r2])]    
    pass
In [204]:
# 运行以下代码测试你的 addScaledRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_addScaledRow
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.003s

OK

2.3 Gaussian Jordan 消元法求解 Ax = b

2.3.1 算法

步骤1 检查A,b是否行数相同

步骤2 构造增广矩阵Ab

步骤3 逐列转换Ab为化简行阶梯形矩阵 中文维基链接

对于Ab的每一列(最后一列除外)
    当前列为列c
    寻找列c中 对角线以及对角线以下所有元素(行 c~N)的绝对值的最大值
    如果绝对值最大值为0
        那么A为奇异矩阵,返回None (你可以在选做问题2.4中证明为什么这里A一定是奇异矩阵)
    否则
        使用第一个行变换,将绝对值最大值所在行交换到对角线元素所在行(行c) 
        使用第二个行变换,将列c的对角线元素缩放为1
        多次使用第三个行变换,将列c的其他元素消为0

步骤4 返回Ab的最后一列

注: 我们并没有按照常规方法先把矩阵转化为行阶梯形矩阵,再转换为化简行阶梯形矩阵,而是一步到位。如果你熟悉常规方法的话,可以思考一下两者的等价性。

2.3.2 算法推演

为了充分了解Gaussian Jordan消元法的计算流程,请根据Gaussian Jordan消元法,分别手动推演矩阵A为可逆矩阵,矩阵A为奇异矩阵两种情况。

推演示例

$Ab = \begin{bmatrix} -7 & 5 & -1 & 1\\ 1 & -3 & -8 & 1\\ -10 & -2 & 9 & 1\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{5} & -\frac{9}{10} & -\frac{1}{10}\\ 0 & -\frac{16}{5} & -\frac{71}{10} & \frac{11}{10}\\ 0 & \frac{32}{5} & -\frac{73}{10} & \frac{3}{10}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{43}{64} & -\frac{7}{64}\\ 0 & 1 & -\frac{73}{64} & \frac{3}{64}\\ 0 & 0 & -\frac{43}{4} & \frac{5}{4}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{16}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{59}{688}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{43}\end{bmatrix}$

推演有以下要求:

  1. 展示每一列的消元结果, 比如3*3的矩阵, 需要写三步
  2. 用分数来表示
  3. 分数不能再约分
  4. 我们已经给出了latex的语法,你只要把零改成你要的数字(或分数)即可
  5. 检查你的答案, 可以用这个, 或者后面通过单元测试后的gj_Solve

你可以用python的 fractions 模块辅助你的约分

以下开始你的尝试吧!

In [205]:
# 不要修改这里!
from helper import *
A = generateMatrix(3,seed,singular=False)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int) # it doesn't matter
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)
  3,  5,  9 ||  1 
 -3,  4,  3 ||  1 
  7,  6,  2 ||  1 

请按照算法的步骤3,逐步推演可逆矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求:

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数,如下:
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$...$

In [206]:
# 不要修改这里!
A = generateMatrix(3,seed,singular=True)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int)
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)
 -2, -8, -2 ||  1 
 -6,  6,  6 ||  1 
 -5, -5,  1 ||  1 

请按照算法的步骤3,逐步推演奇异矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求:

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数,如下:
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$...$

2.3.3 实现 Gaussian Jordan 消元法

In [225]:
# TODO 实现 Gaussain Jordan 方法求解 Ax = b

""" Gaussian Jordan 方法求解 Ax = b.
    参数
        A: 方阵 
        b: 列向量
        decPts: 四舍五入位数,默认为4
        epsilon: 判读是否为0的阈值,默认 1.0e-16
        
    返回列向量 x 使得 Ax = b 
    返回None,如果 A,b 高度不同
    返回None,如果 A 为奇异矩阵
"""

def gj_Solve(A, b, decPts = 4, epsilon = 1.0e-16):
    
    # 检查A,b是否行数相同 return None
    if len(A) != len(b):
        raise None
        
    # 构造增广矩阵Ab
    Ab = augmentMatrix(A, b)
    
    # 返回矩阵的行数和列数: row && column
    row, column = shape(Ab)
    
    # 逐列转换Ab为化简行阶梯形矩阵,对于Ab的每一列(最后一列除外)
    # 当前列为列c
    for c in range (column - 1):
        
        r = c
        max_list = []
        r_index_list = []
        
        while(r < row):
            max_list.append(abs(Ab[r][c]))
            r_index_list.append(r)
            r += 1
        
        # 取最大值
        max_list_value = max(max_list)
        # 取max_value的索引值
        max_list_value_index = max_list.index(max_list_value)
        # 寻找列c中 对角线以及对角线以下所有元素(行 c~N)的绝对值的最大值
        max_row = r_index_list[max_list_value_index]
        
        # 如果绝对值最大值为0,那么A为奇异矩阵,返回None
        if max_list_value < epsilon:
            return None
        elif max_row != c:
            # 使用第一个行变换,将绝对值最大值所在行交换到对角线元素所在行(行c) 
            swapRows(Ab, c, max_row)

        # 计算缩放值
        scale = 1.0 / Ab[c][c]
        # 使用第二个行变换,将列c的对角线元素缩放为1
        scaleRow(Ab, c, scale)

        #多次使用第三个行变换,将列c的其他元素消为0
        i = 0
        while(i < row):
            if i == c:
                i += 1
                continue
            _Ab_scale = -Ab[i][c]
            # 修改参数矩阵
            addScaledRow(Ab, i, c, _Ab_scale)
            i += 1
            
    # 打印矩阵Ab
    printInMatrixFormat(Ab)
    
    # 返回Ab的最后一列
    return_list = []
    for r in range(row):
        return_list.append([round(Ab[r][-1], decPts)])
    print ("last_row_list: " + format(return_list))
    return return_list
In [226]:
# 运行以下代码测试你的 gj_Solve 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_gj_Solve
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.081 
  0.000,  1.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000 ||  0.089 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.244 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.014 
  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000 ||  0.268 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 || -0.381 
last_row_list: [[-0.0808], [0.0895], [-0.2437], [0.0144], [0.2678], [-0.3806]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.042 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.602 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.212 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.615 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -0.398 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 || -0.008 
last_row_list: [[-0.0418], [0.6018], [-0.2118], [0.6154], [-0.3978], [-0.0081]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || 10.517 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -9.066 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -2.459 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.388 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  1.509 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000,  0.000 || -6.544 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 || 10.533 
last_row_list: [[10.5174], [-9.0663], [-2.4589], [-0.3879], [1.5093], [-6.5438], [10.5326]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.282 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.683 
  0.000, -0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.492 
  0.000, -0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.342 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.120 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.069 
  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -0.264 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  0.161 
last_row_list: [[-0.2824], [0.6826], [-0.4922], [-0.3419], [0.1197], [0.0695], [-0.2636], [0.1613]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -4.769 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || 21.154 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -12.769
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 || 22.308 
last_row_list: [[-4.7692], [21.1538], [-12.7692], [22.3077]]
  1.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000 ||  2.189 
  0.000,  1.000, -0.000,  0.000,  0.000 ||  3.736 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  1.779 
  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000 ||  2.301 
 -0.000, -0.000,  0.000, -0.000,  1.000 || -0.703 
last_row_list: [[2.1892], [3.7361], [1.7792], [2.301], [-0.7032]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  0.051 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.262 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.144 
  0.000, -0.000,  0.000,  1.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  1.257 
  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  1.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.500 
  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  1.200 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000, -0.000 || -0.010 
  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000, -0.000 || -0.011 
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  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || -0.866 
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  1.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  1.046 
 -0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.331 
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  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.680 
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 -0.000, -0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.410 
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  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  3.310 
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 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000,  0.000 || -6.339 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  1.521 
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  1.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000 || -0.290 
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  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || -14.161
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -14.758
 -0.000, -0.000, -0.000,  0.000,  1.000 || -11.880
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  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.237 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.534 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000 || -0.056 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000, -0.000,  0.000 ||  0.212 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || -0.550 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000, -0.000 ||  0.597 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  0.000,  1.000 || -0.234 
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  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.227 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.391 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.294 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  0.170 
last_row_list: [[0.2274], [0.3911], [0.2941], [0.1699]]
  1.000,  0.000,  0.000 || -0.015 
  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.274 
  0.000,  0.000,  1.000 ||  0.056 
last_row_list: [[-0.0154], [0.2736], [0.0559]]
  1.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000 ||  0.195 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.022 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.322 
  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000 ||  0.697 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 ||  0.265 
last_row_list: [[0.1951], [-0.022], [0.3221], [0.6971], [0.2648]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  2.234 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  1.379 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  3.262 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000 || -1.260 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  1.109 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000, -0.000 || -2.856 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -0.006 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 || -2.463 
last_row_list: [[2.2339], [1.3788], [3.2621], [-1.2598], [1.1086], [-2.8559], [-0.0059], [-2.4628]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.353 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || -1.098 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.176 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  0.725 
last_row_list: [[0.3529], [-1.098], [0.1765], [0.7255]]
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 10.821s

OK

(选做) 2.4 算法正确判断了奇异矩阵:

在算法的步骤3 中,如果发现某一列对角线和对角线以下所有元素都为0,那么则断定这个矩阵为奇异矩阵。

我们用正式的语言描述这个命题,并证明为真。

证明下面的命题:

如果方阵 A 可以被分为4个部分:

$ A = \begin{bmatrix} I & X \\ Z & Y \\ \end{bmatrix} , \text{其中 I 为单位矩阵,Z 为全0矩阵,Y 的第一列全0}$,

那么A为奇异矩阵。

提示:从多种角度都可以完成证明

  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的秩
  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的行列式
  • 考虑矩阵 A 的某一列是其他列的线性组合

TODO 证明:

3 线性回归

3.1 随机生成样本点

In [209]:
# 不要修改这里!
# 运行一次就够了!
from helper import *
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

X,Y = generatePoints(seed,num=100)

## 可视化
plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.show()

3.2 拟合一条直线

3.2.1 猜测一条直线

In [210]:
#TODO 请选择最适合的直线 y = mx + b
m1 = 0
b1 = 0

# 不要修改这里!
plt.xlim((-5,5))
x_vals = plt.axes().get_xlim()
y_vals = [m1*x+b1 for x in x_vals]
plt.plot(x_vals, y_vals, '-', color='r')

plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')

plt.show()
/anaconda3/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/cbook/deprecation.py:106: MatplotlibDeprecationWarning: Adding an axes using the same arguments as a previous axes currently reuses the earlier instance.  In a future version, a new instance will always be created and returned.  Meanwhile, this warning can be suppressed, and the future behavior ensured, by passing a unique label to each axes instance.
  warnings.warn(message, mplDeprecation, stacklevel=1)

3.2.2 计算平均平方误差 (MSE)

我们要编程计算所选直线的平均平方误差(MSE), 即数据集中每个点到直线的Y方向距离的平方的平均数,表达式如下: $$ MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$

In [211]:
# TODO 实现以下函数并输出所选直线的MSE

def calculateMSE(X,Y,m,b):
    if len(X) == len(Y) and len(X) != 0:
        n = len(X)
        sum_list = [(Y[i] - m * X[i] - b) ** 2 for i in range(n)]
        fn = float(n)
        return sum(sum_list) / fn
    else:
        raise ValueError

print(calculateMSE(X, Y, m1, b1))
151.38656579668776

3.2.3 调整参数 $m, b$ 来获得最小的平方平均误差

你可以调整3.2.1中的参数 $m1,b1$ 让蓝点均匀覆盖在红线周围,然后微调 $m1, b1$ 让MSE最小。

3.3 (选做) 找到参数 $m, b$ 使得平方平均误差最小

这一部分需要简单的微积分知识( $ (x^2)' = 2x $ )。因为这是一个线性代数项目,所以设为选做。

刚刚我们手动调节参数,尝试找到最小的平方平均误差。下面我们要精确得求解 $m, b$ 使得平方平均误差最小。

定义目标函数 $E$ 为 $$ E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$

因为 $E = \frac{n}{2}MSE$, 所以 $E$ 取到最小值时,$MSE$ 也取到最小值。要找到 $E$ 的最小值,即要找到 $m, b$ 使得 $E$ 相对于 $m$, $E$ 相对于 $b$ 的偏导数等于0.

因此我们要解下面的方程组。

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial E}{\partial m} =0 \\ \\ \displaystyle \frac{\partial E}{\partial b} =0 \\ \end{cases} $$

3.3.1 计算目标函数相对于参数的导数

首先我们计算两个式子左边的值

证明/计算: $$ \frac{\partial E}{\partial m} = \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} $$

$$ \frac{\partial E}{\partial b} = \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} $$

TODO 证明:

3.3.2 实例推演

现在我们有了一个二元二次方程组

$$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \end{cases} $$

为了加强理解,我们用一个实际例子演练。

我们要用三个点 $(1,1), (2,2), (3,2)$ 来拟合一条直线 y = m*x + b, 请写出

  • 目标函数 $E$,
  • 二元二次方程组,
  • 并求解最优参数 $m, b$

TODO 写出目标函数,方程组和最优参数

3.3.3 将方程组写成矩阵形式

我们的二元二次方程组可以用更简洁的矩阵形式表达,将方程组写成矩阵形式更有利于我们使用 Gaussian Jordan 消元法求解。

请证明 $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial E}{\partial m} \\ \frac{\partial E}{\partial b} \end{bmatrix} = X^TXh - X^TY $$

其中向量 $Y$, 矩阵 $X$ 和 向量 $h$ 分别为 : $$ Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix} , X = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1\\ ... & ...\\ x_n & 1 \\ \end{bmatrix}, h = \begin{bmatrix} m \\ b \\ \end{bmatrix} $$

TODO 证明:

至此我们知道,通过求解方程 $X^TXh = X^TY$ 来找到最优参数。这个方程十分重要,他有一个名字叫做 Normal Equation,也有直观的几何意义。你可以在 子空间投影投影矩阵与最小二乘 看到更多关于这个方程的内容。

3.4 求解 $X^TXh = X^TY$

在3.3 中,我们知道线性回归问题等价于求解 $X^TXh = X^TY$ (如果你选择不做3.3,就勇敢的相信吧,哈哈)

In [212]:
# TODO 实现线性回归
'''
参数:X, Y 存储着一一对应的横坐标与纵坐标的两个一维数组
返回:m,b 浮点数
'''
def linearRegression(X,Y):
    X = [[x, 1] for x in X]
    Y = [[y] for y in Y]
    XT = transpose(X)
    A = matxMultiply(XT, X)
    b = matxMultiply(XT, Y)
    result_list = gj_Solve(A, b)
    return result_list[0][0], result_list[1][0]

m2, b2 = linearRegression(X, Y)
assert isinstance(m2, float),"m is not a float"
assert isinstance(b2, float),"b is not a float"
print(m2, b2)
3.6419 6.6856

你求得的回归结果是什么? 请使用运行以下代码将它画出来。

In [213]:
# 请不要修改下面的代码
x1,x2 = -5,5
y1,y2 = x1*m2+b2, x2*m2+b2

plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.plot((x1,x2),(y1,y2),'r')
plt.title('y = {m:.4f}x + {b:.4f}'.format(m=m2,b=b2))
plt.show()

你求得的回归结果对当前数据集的MSE是多少?

In [214]:
print(calculateMSE(X,Y,m2,b2))
1.0368295533628196